第 6 集 · B1 · 6 分 30 秒
数学备考 · 第6集 · ЕГЭ по математике - Кредиты (часть 2)
适合听读练习的俄语真实语料。片段原文开头：Добрый день, с вами Алексей Колчин и команда GetAClass. И мы продолжаем решать экономические задачи на кредиты.
中俄字幕
Добрый день, с вами Алексей Колчин и команда GetAClass.
大家好，我是阿列克谢·科尔钦，以及GetAClass团队。
И мы продолжаем решать экономические задачи на кредиты.
我们继续讲解有关贷款的经济类题目。
И сегодня мы разберемся со схемой выплаты кредита, которая называется схемой
今天我们将分析一种名为‘等额本金还款法’的贷款偿还方案，
дифференциальных платежей, и часто встречается в задачах ЕГЭ.
这种方案在高考数学题中经常出现。
Вот пример такой задачи.
以下是这类题目的一个示例。
пётр взял кредит на три года в конце каждого года оставшийся долг возрастает на одно
彼得申请了一笔为期三年的贷款；每年年末，剩余未还本金按相同百分比增长，
и то же число процентов а затем уменьшается на сумму уплаченную петром.
然后减去彼得当年所偿还的金额。
платежи подбираются так чтобы оставшийся долг уменьшался равномерно.
还款额经过设定，使得剩余未还本金逐年等额减少。
сумма выплат превысила кредит на сорок шесть процентов
所有还款总额比贷款本金高出46%。
найдите годовую процентную ставку.
求年利率。
вот наш заемщик пётр он взял кредит на три года а дальше он должен выплачивать
这是我们的借款人彼得，他借了一笔为期三年的贷款，之后他需要偿还
кредит так чтобы оставшийся долг уменьшался равномерно и это ключевое условие
还款方式需确保剩余债务均匀减少，这是题目的关键条件
задачи. такая схема выплаты кредита называется схемой дифференциальных платежей
这种还款方式称为等额本金还款法
нам надо разделить долг на три равные части
我们需要将债务分成三等份
сначала это сумма, которая лежит у банкира
起初这笔钱存放在银行家那里
затем эти деньги перечисляются Петру
然后这笔钱会转账给彼得
а дальше нам надо разобраться, как происходят выплаты.
接下来我们需要弄清楚还款是如何进行的
но сначала посмотрим что произойдет в случае если Петр вернет весь кредит через один
但首先，我们来看如果彼得一年后就还清全部贷款会发生什么
год. тогда на каждую треть кредита начислятся проценты в размере годовой ставки.
那么每三分之一的贷款都将按年利率计息
Я обозначу их этими оранжевыми прямоугольниками.
我用这些橙色矩形来表示它们
и он передает все эти деньги банкиру так что банкир получил вот эту прибыль три
他将所有这些钱交给银行家，因此银行家获得了这笔3单位的利润。
оранжевых прямоугольника.
三个橙色矩形。
но на самом деле Петр возвращает свой долг не за один год а за три.
但实际上，彼得并非一年内还清债务，而是分三年还清。
И как это происходит?
这是如何发生的？
В конце первого года на сумму его долга начисляется годовая процентная ставка, и он
第一年年末，他的债务本金会按年利率计息，然后他
отдает, во- первых, одну треть своего долга, чтобы оставшаяся сумма уменьшалась
首先偿还原始债务的三分之一，以使剩余金额均匀减少；
равномерно, а во- вторых, все проценты, которые были начислены на сумму долга.
其次，偿还全部已计入债务本金的利息。
в конце второго года начисляются проценты на оставшуюся сумму видите что сумма их
第二年年末，对剩余金额计息——您可以看到利息金额
уменьшилась потому что долг уменьшился и
减少了，因为债务减少了；
он отдает снова одну треть основного исходного долга и проценты на ту сумму которая
他再次偿还原始本金的三分之一，以及针对该剩余金额计算的利息。
у него была к концу второго года на две трети исходного долга.
到第二年末，他的债务剩余原始债务的三分之二。
и наконец к концу третьего года начисляются проценты на остаток его долга и он
最后，到第三年末，对其剩余债务计息，他
отдает последнюю треть своего исходного долга и проценты на нее.
偿还剩余原始债务的三分之一及该部分产生的利息。
мы видим, что при дифференциальной схеме выплаты платежей платежи у нас разные по
我们发现，在等额本金还款方式下，各期还款金额
размеру. Первый платеж самый большой,
大小不一。首期还款额最大，
дальше они равномерно уменьшаются, и последний платеж самый маленький.
之后逐期均匀减少，末期还款额最小。
И еще мы видим, что проценты, которые выплачивает Петр по кредиту, уменьшаются
此外，我们还看到，彼得为该贷款所支付的利息
равномерно. Это значит, что мы всегда можем найти среднее значение выплат процентов.
均匀递减。这意味着我们总能计算出利息支付的平均值。
И когда мы сравниваем его с годовой процентной ставкой, а это, напоминаю, один
当我们将其与年利率（即我之前提到的一个小矩形）进行比较时，
прямоугольничек, то мы видим, что переплата по кредиту ровно в два раза больше, чем
会发现贷款总利息支出恰好是年利率的两倍。
годовая процентная ставка.
年利率。
а это значит что годовую процентную ставку p мы найдем разделив переплату по кредиту
这意味着，年利率 p 等于贷款总利息除以贷款本金。
сорок шесть процентов пополам получается двадцать три процента годовых.
46% 除以 2 等于 23% 年利率。
Исходная задача решена.
原题已解。
А как решать аналогичную задачу, если кредит выдан, допустим, не на три, а на четыре
如果贷款期限不是三年，而是四年，该如何解类似题目？
года? в этом случае надо делить сумму кредита на четыре равные части и рассуждать
此时，需将贷款总额平均分为四份，并采用相同思路分析。
точно так же. вот банкир отдает кредит в пользование заемщику и если заемщик
银行家将贷款发放给借款人。
выплачивает весь кредит через год то на каждую четверть кредита начисляются проценты
若借款人一年后一次性还清全部贷款，则每四分之一贷款均按年利率计息。
в размере годовой процентной ставки
年利率。
и прибыль банкира составляет четыре вот таких прямоугольничка по одному на каждую
银行家的利润由四个这样的小矩形组成，每个对应一份还款。
четверть кредита.
贷款的四分之一。
но на самом деле мы знаем что все происходит не так в
但实际上，我们知道实际情况并非如此。
конце первого года действительно точно так же на каждую четверть кредита начисляются
在第一年末，每季度确实会按贷款的四分之一计息，
проценты и пётр отдает все эти проценты но от основного долга он отдает только одну
彼得支付了所有这些利息，但仅偿还了本金的四分之一。
четверть. значит он отдал одну четверть и четыре прямоугольничка
因此他偿还了一部分本金（四分之一）和四个小矩形（代表利息）。
на следующий год начислятся проценты на оставшиеся три четверти исходного долга и он
第二年，利息将按剩余的原始贷款的四分之三计算，他
отдает еще одну четверть и три прямоугольника
再偿还四分之一本金和三个小矩形（利息）。
на следующий год точно так же начисляются проценты на две четверти и в последний год
第三年同样按剩余二分之一（即四分之二）计息，最后一年
он отдает последнюю четверть кредита и проценты на нее.
他偿还最后一笔四分之一贷款及相应利息。
И мы видим, что в этой задаче получается ровно такая же лесенка.
我们发现，本题中恰好形成了完全相同的阶梯状图形。
Первый платеж самый большой по величине, дальше они равномерно убывают.
第一笔还款金额最大，之后逐期均匀递减。
И прибыль банкира, то есть начисленные проценты, также равномерно убывают с каждым
银行家的收益（即所计利息）也逐年均匀递减。
годом. И мы ровно как для исходной задачи можем посчитать, сколько же в среднем
对于原始问题，我们同样可以精确计算出银行家平均获得多少收益。
получает банкир.
银行家平均获得多少收益。
Давайте сделаем так: раз, раз
我们来这样操作：一、二、三。
и раз. и мы видим что на каждую четверть приходится в среднем два с половиной
我们看到，每四分之一区间平均对应两个半小矩形。
прямоугольничка.
小矩形。
но это значит что сумма переплат для кредита на четыре года будет в два с половиной
这意味着四年期贷款的总利息支出是年利率的两倍半。
раза больше чем годовая процентная ставка.
年利率。
вы видите что все такие задачи решаются аналогично.
您会发现，所有这类问题的解法都类似。
теперь вы можете самостоятельно разобраться с тем что будет происходить если кредит
现在您可以自行分析，如果贷款
берется на пять и на шесть лет установить закономерность и получить общую формулу во
期限为五年和六年，找出其中的规律，并推导出通用公式
сколько раз переплата по кредиту превышает годовую процентную ставку в зависимости
还款总额超出年利率多少倍，取决于
от срока кредитования.
贷款期限。
Еще раз подчеркну, что в схеме дифференциальных платежей равномерно уменьшается
再次强调，在等额本金还款方式中，本金余额均匀减少，
величина исходного долга, а сами платежи имеют различную величину.
而每期还款金额则各不相同。
Дифференс– это различие.
“差额”即“差异”。
спасибо за внимание и до новых встреч.
感谢您的关注，我们下次再见！
来源：GetAClass - Просто математика · CC BY 3.0