第 9 集 · B1 · 6 分 14 秒
数学备考 · 第9集 · Найдите угол между сторонами ломаной
适合听读练习的俄语真实语料。片段原文开头：добрый день с вами канал getac класс просто математика и я алексей колчин и сегодня мы разберем задачку взятую из группы вконтакте не задача дня
中俄字幕
добрый день с вами канал getac класс просто математика и я алексей колчин и
大家好，这里是Getac频道，简单数学，我是阿列克谢·科尔钦。
сегодня мы разберем задачку взятую из группы вконтакте не задача дня
今天我们将解析一道来自VK群组的题目，名为‘非每日一题’。
Вот перед вами чертёж,
这是摆在您面前的一幅示意图。
который представляет собой самопересекающуюся ломаную, и по условию задачи вот все
它是一条自相交的折线，根据题目条件，所有这些角彼此相等。
эти углы равны между собой.
这些角彼此相等。
а надо найти вот этот угол, который я обозначу альфа.
我们需要求出这个角，我将其标记为α。
и для того чтобы решить эту задачу я вам очень советую вспомнить как
为了解决这道题，我强烈建议您回忆一下中学课程中多边形内角和的求法，这在解题时会非常有用。
в школьном курсе находилась сумма углов многоугольника это может сильно пригодиться
这在解题时会非常有用。
при ее решении.
在解题过程中。
сейчас сделаем паузу, вы подумаете,
现在我们暂停一下，请您先思考。
а дальше я расскажу свой вариант решения.
接下来，我将介绍我的解题思路。
напомню один из способов доказательства
我先回顾一种证明方法。
вернее нахождение формулы суммы углов многоугольника.
更准确地说，是推导多边形内角和公式的办法。
для этого способа важно рассмотреть внешние углы этого многоугольника ну я
对这种方法而言，关键在于考察该多边形的外角。
пятиугольник нарисовал
我画了一个五边形。
пририсовал такие хвостики и вот у нас внешние углы
又添加了这样的小尾巴，这些就是它的外角。
я их нарисую одинаковыми дужками, хотя они, конечно же, не обязаны быть равными
我用相同的弧线标记它们，尽管它们彼此之间当然不一定相等。
между собой. Как найти их сумму?
那么，如何求出它们的和呢？
Ну, оказывается, есть очень простой способ.
其实，有一个非常简单的方法。
Вот если мы приложим вот так, давайте отметим начальную точку, и приложим вот так
比如，我们这样拼接——先标出起点，然后像这样拼接。
маркер, и последим, что с ним происходит, если мы будем проводить его по контуру
用一个标记点，并观察当我们沿着这个多边形的边界移动它时，它会发生什么变化。
этого многоугольника.
这个多边形。
Вот он повернулся как раз на вот этот первый внешний угол.
看，它恰好转过了第一个外角。
Дальше мы проводим по контуру, вот он повернулся на вот этот угол, и дальше он
接着我们继续沿边界移动，它又转过了这个角，然后它继续……
поворачивается, поворачивается, поворачивается.
不断旋转、旋转、再旋转。
Когда он приходит в исходную точку, маркер совершает полный оборот.
当它回到起点时，标记点恰好完成了一整圈旋转。
Ну, это значит, что сумма внешних углов любого многоугольника равна 360 градусов.
因此，任意多边形的外角和恒为360度。
Ну, или нам будет удобнее писать, что это 2π.
或者，用2π表示可能更方便。
Обозначим это 2π, если это все измерять в радианах.
若所有角度均以弧度计量，则记作2π。
Дальше понятно, как найти сумму углов, я туда вдаваться не буду, только намечу, что
接下来，如何求内角和就显而易见了；我将不深入讲解，仅简要指出：
у нас развернутый угол можно
我们有一个平角
около каждой вершины увидеть многоугольника.
在多边形的每个顶点处都能看到。
Ну и значит, соответственно, сколько вершин у этого многоугольника, столько и этих
因此，这个多边形有多少个顶点，就有多少个
развернутых углов.
平角。
Значит, если у него пять вершин, то пять раз по 180 градусов.
也就是说，如果它有五个顶点，那么就是五个180度。
А дальше для того, чтобы найти сумму внутренних углов, нужно вычесть сумму внешних,
接下来，为了求内角和，需要减去外角和，
а это 360 градусов, как мы только что установили.
而我们刚刚已确定，外角和为360度。
а теперь применим этот метод подсчёта углов к нашей ситуации.
现在，我们将这种角度计算方法应用到当前情形中。
Ну внутренние углы, отмеченные зелёным, у нас.
绿色标记的内角，
везде одинаковые, значит и внешние углы тоже будут одинаковые, и я обозначу такой
处处相等，因此外角也全都相等，我将这样的外角记作
угол буковкой бета.
用希腊字母β表示的角度。
И теперь ясно, что в нашем странном многоугольнике, который по школьному определению
现在很清楚，在我们这个奇怪的多边形中，按照中学定义，
вовсе не многоугольник, поскольку имеет самопересечения, но тем не менее мы можем
根本不是多边形，因为它有自相交，但尽管如此，我们仍能
найти сумму его внешних углов.
求出它的外角和。
У нас вот этих зелёных уголков внутренних очевидно 11 штук, ну и стало быть сумма
这里显然有11个绿色的内角，因此
внешних углов этого многоугольника составляет 11β.
这个多边形的外角和为11β。
А с другой стороны, мы можем опять применить тот же способ и проследить за маркером.
另一方面，我们可以再次采用同样的方法，追踪标记点的运动。
Вот я выделю эту вершину,
我来标出这个顶点，
и поехали: раз, раз, раз, раз, раз, раз,
开始：一、二、三、四、五、六、
раз. Мы видим, что уже больше одного оборота, ну и соответственно ясно, что когда мы
七。我们已看到转过的角度超过一圈，因此可以明确，当我们
вернёмся к исходной точке, то маркер совершит ровно два оборота, или 720 градусов.
回到起点时，标记点恰好旋转两圈，即720度。
Но нам удобнее будет записать, если у нас 360 градусов— это 2π, то 720 градусов—
但更方便的写法是：若360度等于2π，则720度等于
это 4π. И отсюда мы немедленно находим величину вот этого внешнего угла.
4π。由此我们可立即求出这个外角的大小。
Значит угол β равен 4π поделить на 11.
因此角β等于4π除以11。
И нам осталось сделать всего один шаг: посмотреть на вот этот вот шестиугольник,
接下来只需最后一步：观察这个六边形，
вполне нормальный, без самопересечений, и сказать себе: очень хорошо, у него внешний
它是一个完全正常的、无自相交的六边形，并意识到：很好，它的这个外角也等于β。
угол вот этот вот тоже самое β.
这个外角也等于β。
и почти все внешние углы равны бета кроме одного единственного вот этого которое
且几乎所有外角都等于β，只有一个例外，即这个角等于α。
равно альфа ну сколько у него внешних углов по бета столько же сколько вот этих
有多少个β外角，就有多少条这样的绿色弧线——共五条。
зеленых дужек пять штук значит сумма внешних углов этого шестиугольника это пять
因此，这个六边形的外角和为5个
бета да еще вот эту уголочек альфа
β，还有这个角α
а с другой стороны мы знаем что эта сумма то есть если мы пройдем маркером то здесь
另一方面，我们知道这个和，也就是说，如果我们用光标移动到这里
будет ровно один полный оборот или триста шестьдесят градусов или два пи
正好是一整圈，即360度或2π
откуда мы немедленно найдем величину угла альфа альфа это есть два пи минус пять
由此我们可立即求出角α的大小：α = 2π − 5
бета бета у нас четыре pi на одиннадцать минус двадцать одиннадцатых pi
β，我们的β是4π/11 − 20π/11
дальше чтобы нам было удобно считать мы скажем себе что два pi это двадцать два
接下来，为便于计算，我们把2π看作22/11
одиннадцатых 22 одиннадцатых π
22/11 π
минус 20 одиннадцатых.
减去20/11
пять что очевидно составляет две одиннадцатых π
5，显然等于2/11 π
этот угол оказался ровно в два раза меньше чем вот этот внешний угол бета для нашего
这个角恰好是外部角β的二分之一，而β对应于我们的
хитрого многоугольника ну и тем самым мы решили задачу угол альфа равен две
巧妙的多边形，从而我们解决了问题：角α等于2/11π
одиннадцатых π Спасибо за внимание.
谢谢观看。
来源：GetAClass - Просто математика · CC BY 3.0