第 4 集 · B1 · 8 分钟
数学趣题 · 第4集 · Перекашивания и теорема Пифагора — Г
适合听读练习的俄语真实语料。片段原文开头：Всем привет! У нас сегодня гость на канале— Григорий Мерзон, или просто Гриша. Привет, Гриша!
中俄字幕
Всем привет! У нас сегодня гость на канале— Григорий Мерзон, или просто Гриша.
大家好！今天我们频道的嘉宾是格里戈里·梅尔宗，或者就叫格里沙。
Привет, Гриша!
你好，格里沙！
Гриша из 57 школы и МЦНМО, и тоже как и я, и как и мы все здесь, большой фанат
格里沙来自57中学和莫斯科数学中心（MCCMO），和我一样，也和我们所有人一样，都是
олимпиадных и всяких других математических задач.
奥数题以及各种其他数学题。
Гриша, тебе слово.
格里沙，请你来讲吧。
Мы поговорим про перекрашивание и про теорему Пифагора, такой странный сюжет.
我们将讨论染色问题和勾股定理，一个看似奇怪的主题组合。
Хочется начать вот не с теоремы Пифагора, а с такой совсем простой задачи.
我想先不从勾股定理讲起，而是从一道非常简单的题目开始。
Я не знаю, читал ли ты эссе Пола Локхарда про плач математика?
你读过保罗·洛克哈特写的《一个数学家的叹息》这篇随笔吗？
Нет, но слышал фамилию Локхард даже в сочетании с именем Пол.
没有，但我确实听说过‘洛克哈特’这个名字，甚至知道他的名字是保罗。
Ну там вообще про то, как нужно учить математике, про самое эссе я рассказывать не
那篇文章其实讲的是数学应该如何教学；关于文章本身，我就不多说了。
буду, но там есть такая задача симпатичная про треугольник в коробке.
我会做，但那里有一道关于盒子里三角形的有趣题目。
Вот допустим у нас есть такая прямоугольная коробка,
假设我们有一个矩形盒子，
и в неё убран треугольник.
里面放着一个三角形。
Давайте для простоты считать, что у него нижняя сторона— это просто.
为简化起见，我们假设它的底边是水平的。
нижняя сторона коробки
即盒子的底边，
а противоположная вершина где то наверху коробки и
而对角顶点位于盒子顶部某处，
спрашивается какую долю коробки занимает площадь треугольника
问题是：该三角形面积占盒子面积的比例是多少？
Капитан Очевидность хочет сказать половину.
“显而易见队长”会说是一半。
Ну, капитан Очевидность, конечно, правильно говорит, но, наверное, проще всего это
嗯，“显而易见队长”当然说得对，但最简单的方法可能是
увидеть так, что можно
这样来看：我们可以
провести вот такой вертикальный отрезок высотой,
画这样一条垂直线段，高度为
и в левой части половину, и в правой части половину площади мы занимаем.
左边占据一半面积，右边也占据一半面积。
Площадь здесь одинаковая занята и не занята, и тут тоже.
此处已占面积与未占面积相等，此处也是如此。
Да, ну да. Так, а если он лежит как- то сложнее?
是的，没错。那么，如果它以更复杂的方式放置呢？
Да, значит, тут сразу можно предложить всем желающим задачу, что если треугольник
是的，这里可以立即向所有感兴趣的人提出一个问题：如果一个三角形
как- то упал в коробку неровно, если его как- то перекосило,
以某种方式歪斜地落入盒中，即发生了倾斜，
то предлагается выяснить, он занимает больше половины площади или меньше половины
那么需要判断：它所占面积是超过一半，还是不足一半？
площади. или может быть и так и так.
或者两种情况都可能发生。
Но вот это, даже, наверное,
不过，这个——或许——
можно сейчас не обсуждать, а я хотел объяснить вот еще одно решение задачи про
现在暂不讨论，而我想再解释一下关于……这道题的另一种解法。
треугольник и коробки при помощи перекрашиваний.
三角形和盒子，通过变形实现。
это такая вещь, что если у нас как- то лежит треугольник в коробке, можно начать его
这是一种特殊现象：如果三角形以某种方式置于盒中，我们就可以开始对其
перекашивать. Выглядит это примерно так, что можно брать и начать его вот так
进行变形。其效果大致是：我们可以这样操作，使其倾斜。
накренять. у него при этом ни
然其自身既不会
высота ни основание не меняется но можно его так постепенно перекосить
高度和底边都不变，但可以逐渐使其倾斜
в прямоугольный треугольник для которого уже все очевидно
直角三角形，其中一切已经显而易见
такие вот линии, да?
就是这样的线，对吧？
Ну да. Если бы это было в пространстве,
是的。如果这是在三维空间中，
то я бы сказал, что это принцип кавалерии.
那么我会说这是骑兵原则。
Если бы это было пространство, я бы сказал, что это принцип Кавальери.
如果这是空间问题，我会说这是卡瓦列里原理。
Да, вот такие отрезки на всех горизонтальных прямых
是的，所有水平直线上的线段都是这样的。
во всех этих треугольниках одинаковые.
所有这些三角形中的线段长度都相同。
Да. То есть можно себе представлять, например, что если такое рассуждение в духе
是的，也就是说，你可以这样想象：比如用阿基米德式的推理方式，
Архимеда, что если треугольник сложен из таких маленьких плиточек.
就像阿基米德那样，把三角形看作由许多小方块拼成。
то эти плиточки просто сдвигаются друг относительно друга, но, конечно, при этом
那么这些小方块只是彼此相对滑动，但当然，
площадь не меняется.
面积并不会改变。
Слушай, Архимед же был в миллиметре от понятия интеграла.
听我说，阿基米德当时离积分概念就差一毫米了。
Ну, я бы сказал так, что Архимед пользовался интегрированием как таким способом
嗯，我倒觉得阿基米德是把积分作为一种计算方法来使用的，
вычисления площадей и объемов,
用来计算面积和体积。
но вот интегрирование, какие такие суммы бесконечно малых величин у него были, но,
不过，他并没有明确提出无穷小量之和这类积分概念。
конечно, ничего похожего на формулу Ньютона- Лейбница у него не было.
当然，他根本没有牛顿-莱布尼茨公式这样的东西。
Не было, да? Вот этого не было.
没有，是吗？这个确实没有。
Вот это удивительно, конечно.
这当然令人惊讶。
А про бесконечно малые элементы действительно у Архимеда были такие рассуждения,
而关于无穷小量，阿基米德确实有过这类推理，
поэтому если Архимеда бы, наверное, такое рассуждение удовлетворило.
因此，阿基米德大概会认可这种推理。
А если вам не нравится, ну, можно думать как в школе, что вот у всех этих
如果你们不喜欢这种说法，那么也可以像中学那样思考：所有这些
треугольников одно и то же основание, одна и та же высота,
三角形具有相同的底和相同的高，
ну, можно считать, что вот
嗯，可以这样理解：
предыдущее рассуждение доказывало, что площадь треугольника— это половина
前面的推理已证明，三角形的面积等于底乘以高的一半。
произведения основания на высоту.
前面的推理已证明，三角形的面积等于底乘以高的一半。
Поэтому здесь, конечно, площадь не меняется.
因此，这里的面积当然不会改变。
Ну да, ну да, да, да, да, то есть можно наоборот воспользоваться как бы формулой с
嗯，对，对，是的，是的，是的，也就是说，我们可以反过来利用面积公式。
площадью, чтобы показать корректность вот таких сдвигов, да?
用面积来证明这类平移的正确性，对吗？
Да, что такие сдвиги действительно сохраняют площади треугольников.
对，这类平移确实保持了三角形的面积。
Ну да, а какой- нибудь заумный человек скажет, что вот здесь как бы мера, да?
嗯，对，某个爱钻牛角尖的人会说，这里其实是一种测度，对吧？
Мера на вертикальном отрезке, которую мы домножаем на длины вот этих и потом
即垂直线段上的测度，我们将其乘以这些线段的长度，然后……
интегрируем, она не меняется от сдвигов.
再进行积分，而该测度在平移下保持不变。
Ну можно. И длины тоже не меняются, а если ни то, ни другое не меняется, то интеграл
嗯，可以。而且长度也不变；如果两者都不变，那么积分……
тоже не меняется.
也同样不变。
Ну можно разные слова говорить, да, можно думать про какие- то такие матрицы
嗯，可以用各种术语来表述，是的，也可以考虑某些矩阵。
аффинных преобразований, у которых определитель единиц.
行列式为1的仿射变换。
О да, да, да, кстати, тоже хороший метод доказать это.
哦，对，对，对，顺便说一句，这也是证明这一点的好方法。
Ну, не знаю, вот я не
嗯，我不知道，我就是……
редко учу школьников там шестого седьмого класса, поэтому у меня все такерс в душе.
我经常在那里教六、七年级的中学生，所以我的心里全是这些小家伙。
Да, да, да, да, да, лучше так делать, чем так и так.
对，对，对，对，对，这样做好过那样做或那样做。
Но как бы на самом деле все наоборот.
但事实上恰恰相反。
Когда я объясняю вот это, я объясняю, что происходит как бы из вот такого
当我讲解这个时，我会解释它实际上是从这样一个……
прямоугольника.
矩形。
Да, и понятно, что сохранение этих площадей.
是的，显然面积保持不变。
Да, может, прям вот одно разрезать
是的，也许直接把一个切开……
и сложить. Да, да, вот.
然后相加。对，对，就是这个。
То есть это позволяет, вот эти картинки позволяют на самом деле хорошо понять потом
也就是说，这些图实际上有助于我们之后更好地理解高阶的常规数学知识，而它本身
уже высокую нормальную математику, в ней все равно
归根结底都源于这些基础概念。
корнями вырастает вот это все.
所有这一切都植根于此。
Вот. Вот, такое вот рассуждение прикашивания, и можно в разных задачах про площади
看，这就是所谓的‘割补法’推理，我们在各种面积问题中
использовать такие соображения при прикашивании.
都可以运用这种割补法思路。
Давай докажем теорему Пифагора.
我们来证明勾股定理吧。
О, теорему Пифагора, я ее обожаю.
哦，勾股定理，我超爱它！
Ты, наверное, расскажешь потом много разных.
你待会儿大概会讲很多种证法吧。
Ну я свое любимое расскажу, вот самое любимое, которое на обложке книги" Математика
那我就讲我最喜欢的——就是这本书《数学》封面所用的那个最钟爱的证法。
для гуманитариев" находится, я такое расскажу.
面向文科生”，我会这样讲解。
Но я, естественно, буду объяснять, что мое рассуждение самое лучшее.
但我当然会说明，我的推理才是最好的。
Давай, давай, объясню почему.
来吧，来吧，我来解释原因。
Или проверим. Значит, теорема Пифагора, она про то, что в прямоугольном треугольнике
或者我们来验证一下。那么，勾股定理讲的是：在直角三角形中，
сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
两条直角边的平方和等于斜边的平方。
Но вот если мы древние греки, то нужно, конечно, думать не про равенство каких- то
但如果我们是古希腊人，就当然不能只考虑某些数字相等，
чисел, а вот про равенство площадей, сказанных квадратов.
而应考虑所描述正方形的面积相等。
Безусловно. Это я полностью поддерживаю.
毫无疑问，我完全支持这一点。
Вот они, пифагоровы штаны, которые почему- то во все стороны равны.
看，这就是所谓的‘勾股裤’，不知为何四面都一样。
Мне всегда непонятно было, кто надевает эти штаны, какой- то треног что ли, или это
我一直不明白，到底是谁穿这种裤子？是某种三脚架吗？还是……
гульфик. Это я тебе не могу научить.
腰带扣。这个我没法教你。
Вот, но значит, вот утверждается, что сумма площадей вот этих двух квадратов.
看，这里说的是，这两个正方形的面积之和。
Дети не знают, что такое гульфик, так что не страшно, а взрослые могут это,
孩子们不知道什么是腰带扣，所以没关系；而大人可以理解这个。
им можно это слушать.
他们可以听这个。
Вот, да и детям можно слушать.
对，而且孩子们也可以听。
А, ну, теорема Пифагора утверждает, что сумма площадей этих маленьких квадратов— это
啊，对，勾股定理指出，这两个小正方形的面积之和就是
площадь большого квадрата.
大正方形的面积。
Да, да. Но тогда у любого достойного древнего грека возникает вопрос, что если,
是的，是的。但这样一来，任何一个合格的古希腊人都会提出一个问题：如果……
значит, эта фигура должна как- то разбиваться на части, одна из которых имеет
那么这个图形应该能以某种方式分割成若干部分，其中一部分的面积等于小正方形的面积，
площадь маленького квадрата, а другая площадь вот этого квадрата чуть побольше.
另一部分的面积则等于这个稍大一点的正方形的面积。
Если я не ошибаюсь, это холивар про равноставленность и равновеликость начинается,
如果我没记错的话，关于等价性和等面积的争论就从这里开始了。
да, в этом месте, который на плоскости всегда разрешается.
是的，这个在平面上总能解决。
Да, вообще есть такое утверждение, что если у двух фигур на плоскости одинаковые
是的，一般有这样一个定理：如果平面上两个图形面积相等，
площади, то можно их разрезать на части, что- то такое.
那么就可以把它们切割成若干部分（某种方式）。
Многоугольников, да?
多边形，对吗？
Ну, если быть честным, то нужно говорить про многоугольники, резать мы тоже будем
嗯，严格来说，我们讨论的是多边形，切割时也只切多边形。
многоугольники.
我们只切割多边形。
а то начнется сейчас кто нибудь шар разрежет на части ну конечно да на два шара да
否则马上就会有人把球切成几块——当然可以切成两个球。
конечно ну можно действительно пытаться доказывать теорему пифагора перекладыванием
当然，确实可以用拼摆法来证明勾股定理。
но обычно там нужно резать на очень большое количество частей оказывается есть
但通常需要切成非常多的部分；事实上，存在这样的情况。
простой рецепт я вот для себя недавно только узнал хотя это написано вообще в книге
一个简单的食谱，我最近才刚为自己了解到，尽管它其实写在书里。
начала евклида
《几何原本》
来源：Маткульт-привет! :: Алексей Савватеев и Ко · CC BY 3.0